On peut procéder de diverses façons (après avoir rapidement traité le cas évident  ) : soit en travaillant avec la forme trigonométrique du complexe z, soit en utilisant sa forme exponentielle. Nous développons ces deux approches, la seconde étant plus économe en calculs mais requérant une certaine aisance dans la manipulation des exponentielles complexes.

 

 

 

 

Si z est le complexe nul, on a immédiatement  et, de fait , l’argument de  n’étant, par ailleurs, pas défini.

 

Nous supposons désormais .

 

Pour « alléger » un peu les écritures, nous allons poser :  et .

 

 

1^ère approche : utilisation de la forme trigonométrique de z.

 

Ici, on a :  et il vient :

 

 

 

On utilise alors les deux relations trigonométriques :

 

 

 

Et :

 

 

 

Il vient :

 

 

 

A ce stade, il serait tentant de conclure … Mais il convient de ne pas se précipiter ! En effet, il convient de discuter suivant le signe de .

 

1^er cas :  

 

On a donc :  avec . Soit :  avec .

Dans ce cas, . Son module est nul et son argument n’est pas défini.

 

 

2^ème cas :  

 

On a donc :  avec . Soit :  avec .

Dans ce cas, on a :  et .

 

 

3^ème cas :  

 

On a donc :  avec . Soit :  avec .

Dans ce cas, on a :

 

 

 

D’où :  et .

 

 

2^ème approche : utilisation de la forme exponentielle de z.

 

On pose donc cette fois : . En tenant compte de : , il vient :

 

 

 

L’expression entre parenthèses est une différence d’exponentielles complexes et permet « classiquement » de faire apparaître un sinus en mettant en facteur l’exponentielle complexe dont l’argument est égal à la moyenne des deux arguments, soit ici : . Il vient alors :

 

 

 

On retrouve l’expression précédente de  avec  en lieu et place de .

 

La suite est identique à ce que nous avons fait plus haut.