Une propriété classique du module nous permet de nous ramener fondamentalement au calcul du module de z, calcul ne posant pas de difficulté particulière.

 

 

 

 

Calcul commun aux deux approches.

 

On a classiquement :

 

 

 

On a immédiatement : . Il convient donc d’évaluer : .

 

 

1^ère approche : utilisation du calcul de quelques puissances de z.

 

On a :

 

,  et  

 

Il est intéressant d’obtenir un réel. En effectuant alors la division euclidienne de 2011 par 4, il vient :

 

 

 

Alors :

 

 

 

Finalement :

 

 

 

 

 

 

2^ème approche : utilisation de l’exponentielle complexe.

 

On a facilement :  et .

 

Dans ces conditions :

 

 

 

On retrouve le résultat obtenu précédemment et la suite est identique.