Résoudre dans l’équation :
Représenter, dans le plan complexe, les points ayant pour affixes les solutions de cette équation.
(D’après BAC E Poitiers
1974)
Analyse
La forme de l’équation suggère, dans un premier temps, d’effectuer un changement de variable pour se ramener à une équation du second degré …
Résolution
Posons .
L’équation initiale se récrit alors :
On est ainsi ramené à la résolution d’une équation du second degré (en la variable complexe Z).
Le discriminant s’écrit :
On en tire immédiatement les deux solutions de l’équation :
On doit désormais résoudre les deux équations :
et
Résolution de .
On pose classiquement : (avec
). On a alors :
.
D’où :
On obtient les quatre solutions suivantes :
Résolution de .
On procède comme ci-dessus et on obtient :
On obtient les quatre autres solutions suivantes :
Notons les points d’affixes respectives
.
Comme ,
on peut affirmer que ces huit points sont situés sur le cercle de centre O et
de rayon
dans le plan complexe.
On obtient :
Résultat final
Les
solutions de l’équation sont les huit complexes :