Soit et soit z le complexe défini par :
1. Déterminer le module et l’argument de z.
On pose : .
2. Déterminer le module et l’argument de .
Analyse
Un exercice où la forme trigonométrique joue un rôle
déterminant. Le paramètre doit conduire à la prudence : a-t-on
soigneusement identifié le module du complexe considéré ?
Résolution
Question 1.
On a : .
On a immédiatement : et on en déduit :
Comme ,
on a :
et, finalement :
.
Il vient ensuite :
L’expression est de la forme avec
,
il s’agit donc de la forme trigonométrique de z et il vient :
.
Finalement :
et
Question 2.
On a :
On a immédiatement : et on en déduit :
Ici, le signe de varie suivant que
ou
.
On va donc distinguer deux cas.
1er cas :
On a : et
.
Il vient ensuite :
L’expression est de la forme avec
,
il s’agit donc de la forme trigonométrique de
et il vient :
.
2ème cas :
On a cette fois : et
.
Il vient ensuite :
L’expression est de la forme avec
,
il s’agit donc de la forme trigonométrique de
et il vient :
.
En définitive :
·
Si ,
on a :
et
.
·
Si ,
on a :
et
.
Résultat final
et
Si
,
on a :
et
Si
,
on a :
et