On traite les deux problèmes dans l’ordre suggéré. Pour chacun nous proposons deux approches. La première limite peut être déterminée sans faire appel aux notions élémentaires des fonctions dérivables. Quant à la deuxième limite, elle se calcule facilement à partir du résultat obtenu pour la première mais ça n’est en rien la seule possibilité …

 

 

 

 Calcul de  

 

1^ère approche : et s’il s’agissait d’une dérivée ?

 

On identifie, en effet, la définition de la dérivée de la fonction sinus hyperbolique en 0 puisque l’on a :

 

 

 

Cette approche suppose connus la notion de dérivation et le fait que la fonction sinus hyperbolique est dérivable sur  et de dérivée égale à la fonction cosinus hyperbolique.

On peut cependant obtenir ce résultat autrement comme indiqué ci-après.

 

 

2^ème approche : utiliser des limites connues

 

Ici, on revient à la définition du sinus hyperbolique afin de faire apparaître des expressions dont les dérivées en 0 sont connues :

 

 

 

 

Comme on a : , il vient alors :  

 

On a retrouvé le résultat précédemment obtenu.

 

 

 Calcul de  

 

1^ère approche : utiliser des limites connues

 

On revient à la définition du cosinus hyperbolique pour faire apparaître des expressions dont les limites en 0 sont connues :

 

 

 

Comme on a : , il vient : .

 

 

2^ème approche : utiliser le résultat du premier calcul

 

Ici, on utilise la formule : .

 

On a alors :  

 

Or, d’après le résultat du premier calcul, on a : .

 

 

On en déduit alors :

 

 

 

On retrouve le résultat obtenu précédemment.