Comme  et , nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type «  ». Plusieurs approches permettent de lever l’indétermination. Comme, au voisinage de 0, la fonction f définie par  prend des valeurs positives, on peut considérer le logarithme népérien de f pour mener les calculs. Pour autant, on peut travailler directement avec la fonction f elle-même.

 

 

 

1^ère approche : détermination directe

 

On considère donc la fonction f définie par : .

On utilise la relation :  pour récrire  :

 

 

 

L’objectif de cette « manipulation » des puissances est de faire apparaître des limites connues. Comme on a : , il vient (composition) classiquement :

 

 

 

Par ailleurs, on a :  et donc : .

D’où : .

 

 a donc été mise sous la forme :  avec :  et .

On en déduit finalement : .

 

 

2^ème approche : considérer le logarithme népérien de f

 

Introduisons la fonction g définie au voisinage de 0 par : .

 

En utilisant à nouveau : , on obtient :

 

 

 

On peut à nouveau faire apparaître des limites connues.

 

En effet, comme , on a :

 

 

 

Par ailleurs, on a :  et donc : .

Enfin, on a clairement : .

 

On en tire alors : . Soit : .

 

Cette manipulation sur le logarithme népérien de f n’est pas fondamentalement différente de ce que nous avons effectué plus haut. L’usage du logarithme nous a simplement permis de ne pas travailler avec les puissances !

 

 

3^ème approche : utiliser les équivalents de fonctions

 

Ici encore, nous considérons le logarithme népérien de la fonction f au voisinage de 0 en introduisant la fonction g définie par : .

 

Cette fois, nous utilisons l’équivalence classique, valable au voisinage de 0 : .

On en tire alors :  et donc : .

 

D’où : . Soit, .

 

On retrouve le résultat obtenu précédemment.