Comme  et , nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type «  ». Plusieurs approches permettent de lever l’indétermination. Comme, au voisinage de , la fonction f définie par  prend des valeurs positives, on peut en considérer le logarithme népérien pour mener les calculs. Pour autant, on peut travailler directement avec la fonction f elle-même.

 

 

 

1^ère approche : détermination directe

 

On considère donc la fonction f définie par : .

 

Nous en transformons l’écriture pour faire apparaître des expressions dont les limites en  sont connues. On a :

 

 

Or, on a la limite classique : .

 

On en tire : .

 

2^ème approche : considérer le logarithme népérien de f

 

Introduisons la fonction g définie sur  par : .

 

Ici encore, on en transforme l’écriture pour faire apparaître des expressions de limites connues en  :

 

 

 

On a facilement : .

 

Par ailleurs, comme , on a (voir cours) :  

 

D’où, finalement : . On en tire alors : .

 

On a retrouvé le résultat obtenu précédemment.