Comme  et , nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type «  ». L’exercice se traite en faisant apparaître des expressions dont les limites en  sont connues.

 

En guise de préambule, on remarquera, avant tout autre calcul, que l’on peut un peut simplifier le problème …

 

 

 

Préambule

 

Soit la fonction f, définie sur , par .

 

On peut écrire : . Or, on a vu que : . On en tire : . D’où : .

De fait, le « véritable » exercice consiste à déterminer :  

 

1^ère approche : traiter le numérateur et le dénominateur séparément

 

On a, pour  :

 

 

Or, on a le résultat classique (voir cours) : . Il vient donc :

 

 

 

Soit finalement : .

 

 

2^ème approche : transformer la fraction rationnelle

 

On a :

 

 

 

Comme : , il vient .

 

Par ailleurs, on a : .

 

On en tire donc : .

 

On retrouve le résultat obtenu précédemment.