Pour a, b et c strictement positifs, on a . On a donc : . Nous sommes donc confrontés à une forme indéterminée du type «  ». Pour lever l’indétermination, il convient de revenir à la définition de la fonction puissance et d’étudier le comportement des logarithmes des fonctions étudiées au voisinage de 0.

 

 

 

 Calcul de  

 

Soit donc la fonction f définie par . Nous définissons alors la fonction g par : .

 

Le facteur du logarithme népérien étant x, nous allons effectuer un développement limité en  de  au premier ordre.

 

On a :

 

.

 

En considérant alors le logarithme népérien de ce développement limité, on a :

 

 

 

En multipliant par x, il vient finalement :

 

 

 

C’est à dire : .

 

On en déduit alors :

.

 

 Calcul de  

 

On mène les calculs comme précédemment :

 

 

Puis :

 

 

D’où : .

 

Soit, finalement :

 

 

 

 

 Généralisation

 

On considère n réels strictement positifs :  et on va déterminer :

 

 

 

A nouveau, on introduit la fonction g définie par : .

Au voisinage de , on a : .

D’où :

 

 

 

Il vient donc, au voisinage de  :  

 

D’où :  

 

Finalement :