Comme on a , il vient :  et . Nous sommes donc confrontés à une forme indéterminées de type «  ». On la lève en menant en 0 des développements limités du numérateur et du dénominateur qui permettent de trouver des équivalents simples. Une petite remarque complémentaire : éviter trop de calcul au niveau du numérateur !

 

 

 

Le numérateur s’écrit : . Sous cette forme, la détermination de son développement limité est plus simple.

 

Les développements limités du cosinus et de cosinus hyperbolique ne comportent que des termes pairs :

 

 et  

 

En effectuant le produit de tels développements limités, on constate que le résultat ne comporte pas de terme en , on va donc chercher le développement limité de ce produit à l’ordre 4 puisque le premier terme suivant le 1 nous fournira, via le logarithme népérien, un équivalent simple du numérateur.

 

On considère donc les développements limités en 0 à l’ordre 4 du cosinus et du cosinus hyperboliques :

 

 

 

On a alors :

 

 

Comme, au voisinage de 0, on a , on en déduit :

 

 

 

 

Toujours à partir des développements limités du cosinus et du cosinus hyperboliques, on a :

 

 

 

D’où : .

 

Soit :

 

 

Il vient finalement :

 

 

C’est à dire :