Soit la fonction f définie par . On peut la récrire comme suit :

 

. Les deux radicaux admettent 1 comme limite lorsque x tend vers . Sans même considérer la puissance, nous constatons que pour ce qui est de la limite de f en , nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type «  ».

On va donc commencer par étudier plus finement le comportement de f en  en fonction des paramètres a et b en effectuant un développement limité adéquat.

 

 

 

Le développement limité de f en  à l’ordre 2 s’écrit :

 

 

 

Note : il n’est pas, à priori, évident de prévoir l’ordre auquel ce développement limité doit être mené ! Nous le menons à l’ordre 2 au cas où …

 

Du résultat obtenu, on tire : .

 

On peut alors mener une première discussion.

 

1. Si
   
   , c’est à dire
   
   , on a
   
    ;
2. Si
   
   , c’est à dire
   
   , on a
   
    ;
3. Si
   
   , on a
   
    et nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type « 
   
    ».

 

On considère alors :

 

 

 

Pour , l’égalité se récrit :

 

 

 

Or, en  on a  :  et donc :

 

 

 

Soit, finalement :