Déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction f définie par :
Analyse
On doit commencer par déterminer l’ensemble de définition de la fonction f. Celle-ci étant rationnelle, on s’intéresse en particulier au dénominateur. L’apparition éventuelle de valeur(s) interdite(s) permet de déterminer les limites à chercher …
Résolution
Le dénominateur de la fonction f s’annule pour tout x
réel tel que : .
Cette équation admet une seule solution : .
On en tire alors :
Puisque ,
on doit déterminer les limites de la fonction f en
,
et
(à gauche et à droite).
Limites aux bornes infinies
On peut utiliser le théorème du cours en ne conservant que les termes de plus haut degré.
Pour tout x de ,
on a :
Il vient alors : .
De façon analogue : .
Finalement :
et
Limites à gauche et à droite de
On a : et
Le numérateur de la fonction f tend vers une valeur
négative et son dénominateur tend vers 0 en étant
positif (c’est un carré). Il n’y a donc pas à déterminer une limite à gauche et
une limite à droite en
et on a :
Résultat final
,
et