On considère la fonction f définie par :
On note sa courbe représentative dans un repère
orthonormé.
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f ;
2. Démontrer que la droite (D) d’équation est asymptote à
.
admet-elle d’autres asymptotes ?
3. Préciser le position de par rapport à (D).
Analyse
La fonction considérée est une fonction rationnelle dont
l’ensemble de définition est simple à déterminer. Pour répondre à la deuxième
question, il convient (voir le cours) de déterminer la limite de la différence en
et en
.
L’étude du signe de cette différence permet de répondre à la dernière question.
Résolution
Question 1.
On note l’ensemble de définition de la fonction f.
La fonction f étant une fonction rationnelle, on va chercher ici les valeurs de x qui annulent son dénominateur.
On doit dont résoudre : .
Cette équation admet 1 comme unique solution.
On en déduit :
Question 2.
Evaluons la différence : .
Pour ,
on a :
On a facilement : et
.
Or : .
On en déduit :
On en déduit :
La
courbe représentative de la fonction f admet comme asymptote
oblique en
et
la droite (D) d’équation :
.
On a par ailleurs : et
.
Or, .
On en déduit :
et
Finalement :
La
courbe représentative de la fonction f admet comme asymptote
verticale
la
droite d’équation : .
Question 3.
Il convient ici d’étudier le signe de la différence .
Pour tout ,
on a :
.
On en tire la discussion suivante :
- Si
, on aet. D’oùetest située au-dessus de la droite (D) ;
- Si
, on aet. D’oùetest située en dessous de la droite (D).
Finalement :
·
Sur ,
est située en dessous de la droite (D) ;
·
Sur ,
est située au-dessus de la droite (D).