Soit h la fonction définie par :
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h ;
2. Factoriser ;
3. Déduire de ce qui précède : .
Analyse
On est en fait confronté à une forme indéterminée classique
du type .
La factorisation demandée à la deuxième question permet de lever cette
indétermination.
Résolution
1. Notons l’ensemble de définition de la fonction h.
La fonction h est une
fonction rationnelle. Les éventuelles valeurs interdites sont celles qui
annulent son dénominateur. L’équation admet comme unique solution
.
On en déduit alors :
2. Notons f la fonction polynôme définie par : .
On vérifie rapidement que l’on a :
.
Le coefficient de dans
étant égal à 1, on peut écrire
sous la forme :
.
On obtient alors facilement a
(par identification par exemple ou, plus simplement, en considérant le seul
terme constant dans l’expression de ) :
.
Finalement :
3. Pour tout x de ,
on a :
Il vient alors :
et
Le dénominateur seul admettant
une limite nulle et changeant de signe pour ,
on doit distinguer deux cas en calculant une limite à gauche et une limite à
droite.
Pour
On a :
et
On en déduit alors : .
Pour
et
On en déduit alors : .
Finalement :