Soit g la fonction définie par :
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g ;
2. Calculer ;
3. En déduire .
Interpréter ;
4. Montrer que pour tout x de ,
on a :
.
En déduire la position de la courbe représentative de
la fonction g par rapport à son asymptote en .
Analyse
Limite d’une composée, asymptote et étude de la position de la courbe représentative sont les principaux ingrédients de cet exercice.
Résolution
1. Notons l’ensemble de définition de la fonction g.
Pour tout x réel, on a .
La fraction
est donc définie et, de plus, strictement
positive pour tout x réel.
L’expression est la somme de deux termes strictement
positifs. Elle est donc strictement positive.
On en déduit que est défini pour tout x réel.
Finalement :
2. On a : .
On en déduit : .
3. D’après la question précédente, on a : .
Or : .
Il vient alors : .
Interprétation :
La courbe
représentative de la fonction g admet une asymptote horizontale en d’équation
.
4. Pour tout x de ,
on a :
Pour tout x réel, on a .
On en déduit alors :
.
La fonction racine carrée étant strictement croissante, il vient :
Finalement, pour tout x
réel, on a : .
Finalement :
En ,
la courbe représentative de la fonction g est située au-dessus de
l’asymptote horizontale d’équation
Une remarque : la droite
d’équation est également asymptote horizontale à la
courbe représentative de la fonction g en
et la courbe est située au dessus de son
asymptote.
Ci-dessous, l’allure de la courbe représentative de la fonction g.