Soit f la fonction définie par :
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f ;
2. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
Analyse
Le numérateur ne pose pas de problème particulier. Pour ce
qui est des limites, on doit s’intéresser, en ,
aux quantité conduisant à la forme indéterminée.
Résolution
1. Notons l’ensemble de définition de la fonction g.
Pour tout x réel, on a .
est donc défini pour tout x réel.
En revanche, le dénominateur n’est défini que pour x strictement positif.
Finalement :
2. Déterminons :
On a : .
Plus précisément, on a pour tout x
réel et donc :
.
Par ailleurs : .
On en déduit : .
Déterminons :
On a cette fois : et donc :
.
Par ailleurs : .
On a donc affaire à une forme
indéterminée du type « ».
Au numérateur, le terme l’emporte bien sûr sur le terme constant égal
à 1.
On va donc factoriser comme suit :
D’où :
On a : et donc :
.
Alors : .
Finalement : .