Déterminer le domaine de définition et les limites aux bornes de ce domaine de la fonction f définie par :
Analyse
On a affaire à une fonction rationnelle dont le dénominateur est factorisé. Le domaine de définition est donc simple à obtenir. Les calculs de limites sont ensuite classiques.
Résolution
Les valeurs qui annulent le dénominateur de la fonction f
sont 2 et 7. Si on note le domaine de définition de f, on a
donc :
Il convient donc de calculer les limites de la fonction f
en ,
2 (à gauche et à droite), 7 (à gauche et à droite) et
.
Limite de f en
On a immédiatement : et
.
On en tire alors : .
Finalement : .
Limite de f en 2 (à gauche et à droite)
Le facteur apparaît au carré au dénominateur de la
fonction f. On a donc :
Pour tout réel x de on a :
On a aisément : .
Par ailleurs : .
Donc :
.
Finalement (produit) :
Limite de f en 7 (à gauche et à droite)
La situation est cette fois différente puisque l’on a :
et
Pour tout réel x de on a :
On a aisément : .
Par ailleurs : et
.
On a donc (produit) :
Limite de f en
On a immédiatement : et
.
On en tire alors : .
Finalement : .
Pour information, nous fournissons ci-dessous la courbe
représentative de la fonction f pour x compris entre et 14 environ (et différent de 2 et 7
naturellement …).
