La forme du numérateur suggère de chercher cette limite d’une fonction composée. La factorisation du dénominateur nous conforte dans cette approche.

 

 

 

Remarquons dans un premier temps que le dénominateur se factorise aisément : . Le facteur  ne pose pas de problème lorsque x tend vers 1.

 

Pour tout réel x différent de 1 et , on écrit donc :

 

 

 

Considérons alors la fonction f définie sur  par :

 

 

 

On peut considérer que f est la composée des fonctions  et . Dans ces conditions, on calcule d’abord :  et on a immédiatement : .

On doit alors calculer : . Il s’agit d’une limite connue : .

On a donc, finalement :

 

 

 

Comme, par ailleurs : , il vient finalement (par produit) :