On considère la fonction f définie par :
1. Déterminer l’ensemble de définition de f ;
2. Donner la limite de f en ;
3. Mettre l’expression sous forme canonique ;
4. Déduire de la question précédente que
les courbes représentatives de la fonction f et de la fonction sont asymptotes en
(on précisera leurs positions respectives) ;
Analyse
Un problème d’asymptote, celle-ci n’étant pas une droite mais une parabole …
Résolution
1. existe si, et seulement si,
.
En posant
,
cette inéquation équivaut à :
Résolvons .
Le discriminant associé au trinôme
vaut :
Les racines de l’équation s’écrivent alors :
et
On a alors :
Or, pour tout x réel, on
a : et
(car
).
On en déduit que l’inégalité est vérifié pour tout x réel.
L’ensemble
de définition de la fonction f est .
2. On a : .
Or :
.
Finalement, par composition :
3. Comme à la question 1, nous pouvons poser ici .
On a alors :
On a finalement, pour tout x réel :
4. Il convient de démontrer ici que l’on a : .
Pour tout x réel, on a, d’après la question précédente :
En d’autres termes : .
On a établi à la question
2 : .
Par ailleurs :
.
D’où, par addition : et enfin, par division :
Le résultat est ainsi établi.
Les
courbes représentatives de la fonction f et de la fonction sont asymptotes en
.
5. Pour préciser les positions respectives des courbes représentatives des
fonctions f et ,
il convient d’étudier le signe de la différence
.
D’après la question précédente,
on a : .
Or, pour tout x réel, on
a : et
.
On en déduit : ,
soit :
.
On peut alors conclure :
La
courbe représentative de la fonction f est située sous celle de la fonction
.
A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de ces deux courbes.
