Déterminer :
Analyse
On a affaire à une forme indéterminée du type « »
(ou «
»
si on raisonne multiplicativement). Il convient d’identifier clairement les
facteurs faisant apparaître cette forme …
Résolution
Travaillons sur un intervalle ouvert contenant 0 où la
fonction cosinus ne s’annule pas (par exemple ). Pour tout réel x non nul de cet
intervalle, on a :
En posant ,
le numérateur se récrit :
et on a facilement la factorisation :
.
Il vient alors :
Le facteur du numérateur qui conduit à la forme indéterminée
est donc .
On a immédiatement : .
La limite : est classique mais nous redonnons brièvement
ici une méthode pour l’obtenir.
On pose .
Alors :
Comme ,
on a, par composition :
.
Finalement : .
On a enfin, par multiplication :
Résultat final