On considère deux entiers naturels m et n.
Déterminer :
On discutera suivant les valeurs de m et n.
Analyse
On a affaire à une forme indéterminée du type « ».
L’utilisation de la forme conjuguée du numérateur va nous permettre d’obtenir
une expression conduisant à une discussion …
Résolution
Remarquons d’abord que l’expression est définie sur
.
Pour tout réel x dans cet ensemble, on a :
Pour tout entier naturel m, on a : .
Par ailleurs :
.
On en déduit (composition) : ,
puis (addition) :
.
Alors (rapport) : .
Ce résultat nous permet d’écrire : .
On doit distinguer trois cas :
- .
Dans ce cas, on a : .
- .
Ici, comme :
.
- .
On a dans ce cas : avec
.
On doit donc distinguer deux sous-cas selon que la différence
est paire ou impaire :
- Si
la différence est paire.
On a : et, de fait :
.
- Si
la différence est impaire
On doit distinguer la limite à
droite et à gauche de 0 : et
.
D’où : et
.
A titre de complément, nous fournissons ci-après une représentation graphique présentant les diverses situations rencontrées.
Résultat final
Si
:
.
Si
:
.
Si
et
pair :
.
Si
et
impair :
et
.
Complément
Représentation
graphique des fonctions correspondant au cas
(en noir),
correspondant au cas
(en bleu),
correspondant au cas
et
pair (en rouge) et
correspondant au cas
et
impair (en vert).