Le théorème des gendarmes à deux niveaux … mais la différence des racines carrées suggère, dans un premier temps, d’utiliser l’expression conjuguée.

 

 

 

Notons d’abord que l’on a, pour tout x réel :  et donc : .

Pour , on aura donc :  et la racine carrée  sera définie.

Ainsi, dans ce qui suit, on travaille sur l’intervalle .

 

Pour tout x réel supérieur à 1, on a :  et donc : .

Il vient alors, pour tout x de l’intervalle  :

 

 

 

Le dénominateur est strictement positif.

Pour tout x de l’intervalle , on a alors :

 

 

 

Et donc :

 

 

 

A partir de , on a également, pour tout x réel strictement positif :

 

 

 

Comme : , le théorème des gendarmes nous permet de conclure :

 

 

Il vient alors : . Or :  donc, par composition : .

Enfin : .

On a : . Alors, par produit :  et :

 

 

Le théorème des gendarmes nous permet alors de conclure :

 

 

 

Finalement :