La présence de la fonction partie entière nous conduit à distinguer l’étude de la continuité sur les intervalles de la forme  (  ) de celle de la continuité aux abscisses de la forme  (  ).

 

 

 

Soit . On a : .

 

Dans un premier temps, nous nous plaçons donc sur un intervalle de la forme  (  ).

Pour tout réel x de cet intervalle, on a :  et donc : .

La fonction  est continue sur  comme composée de deux fonctions continues sur  : la fonction linéaire  et la fonction sinus. Elle est à fortiori continue sur l’intervalle  et il en va de même pour la fonction f.

 

Etudions maintenant la continuité de f en un point d’abscisse semi entière.

Soit donc . On a : .

Pour pouvoir exprimer plus simplement , nous devons distinguer deux cas suivant la parité de l’entier k :

 

• Si k est pair (
  
   ) :
  
   et
  
   ;
• Si k est impair (
  
   ) :
  
   et
  
  .

 

Pour tout réel x de l’intervalle , on a :  et .

On en déduit : .

En distinguant deux cas comme précédemment, il vient :

 

• Si k est pair :
  
   ;
• Si k est impair :
  
  .

 

On constate immédiatement que, lorsque l’entier k est impair, la limite à gauche de la fonction f en  (  ) ne peut être égale à la valeur prise par la fonction (  ).

On en déduit que la fonction f ne sera pas continue en ce point. Il est donc inutile de calculer la limite à droite dans ce cas. Il convient cependant de le faire lorsque k est pair.

 

 

Pour tout réel x de l’intervalle , on a :  et .

Avec , on en déduit alors :

 

 

On a ainsi établi : .

On en déduit que la fonction f est continue en .

 

Finalement, on tire de l’étude précédente que la fonction f est :

 

• Discontinue pour toute abscisse de la forme
  
   (
  
   ) ;
• Continue partout ailleurs.

 

Soit :

 

 

 

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de la fonction f.