La présence de la fonction partie entière nous conduit à distinguer l’étude de la continuité sur les intervalles de la forme  (  ) de celle de la continuité aux abscisses entières.

 

 

 

Notons, dans un premier temps, que la fonction f est définie sur  en tant que produit de deux fonctions (la fonction partie entière et la fonction  ) définies sur cet ensemble (  ne s’annule pas sur  ).

 

Nous nous plaçons d’abord sur un intervalle de la forme  (  ).

Pour tout réel x de cet intervalle, on a :  et donc : .

La fonction  est continue sur  comme fonction affine. Elle est à fortiori continue sur l’intervalle  et il en va de même pour la fonction f.

 

Etudions maintenant la continuité de f en un point d’abscisse entière.

Soit donc . On a : .

 

Pour tout réel x de l’intervalle , on a :  et .

On en déduit : .

 

Pour tout réel x de l’intervalle , on a :  et .

On en déduit : .

 

 

On vient d’établir :  et .

 

On aura donc la continuité de la fonction f pour  si, et seulement si, on a :

 

 

 

Résolvons donc l’équation :

 

 

 

On a :

 

 

 

Le premier facteur nous fournit directement . Cette première solution aurait pu être trouvée plus rapidement puisqu’il s’agit en fait de la valeur annulant le facteur  dans l’expression de . Il convient maintenant de résoudre l’équation  en gardant présent à l’esprit le fait que nous cherchons des solutions entières (  ).

 

Le discriminant s’écrit : .

 

Les racines de l’équation s’écrivent alors :

 

 et  

 

Les deux solutions obtenues sont entières.

 

On en déduit que la fonction f est continue en ,  et  mais discontinue pour toute autre valeur entière.

 

 

 

 

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de la fonction f.