La présence de la fonction partie entière nous conduit à analyser soigneusement les valeurs prises par la fonction  puis à distinguer l’étude de la continuité sur certains intervalles de celle de la continuité en certains points.

 

 

 

 

Comme, pour tout x réel, on a : , on va distinguer les trois cas suivants :

 

• 
  
   ;
• 
  
   ;
• 
  
  .

 

 

 1^er cas :  

 

On a : .

On a donc, pour tout x réel dans  (  ), .

 

 2^ème cas :  

On a :

.

On a donc, pour tout x réel dans  (  ), .

 

 3^ème cas :  

On a : .

On a alors : .

 

Le graphique ci-dessous illustre les trois situations rencontrées (1^er cas : zone rouge, 2^ème cas : zone verte, 3^ème cas : points M et N) :

 

 

 

 

Cette représentation est particulièrement utile car elle fournit directement les points de discontinuité : il y aura discontinuité à chaque changement de couleur !

Il convient maintenant de l’établir rigoureusement par le calcul.

 

 Nous commençons par les valeurs de x de la forme : .

 

Nous avons vu que nous avions : .

Or, sur l’ensemble : , , on a : .

On en déduit donc, pour tout k entier :

 

 

 

La fonction f n’est donc pas continue pour toute valeur de x de la forme .

 

 Intéressons-nous maintenant aux valeurs de x de la forme .

 

On a :

• Pour tout x de l’intervalle
  
  , (
  
   ), on a :
  
   ;
• Pour tout x de l’intervalle
  
   (
  
   ),
  
  .

 

On en déduit :

 

 et  

 

La fonction f n’est donc pas continue pour toute valeur de x de la forme  (elle est cependant continue à gauche en ce point).

 

 Intéressons-nous enfin aux valeurs de x de la forme .

 

On a :

• Pour tout x de l’intervalle
  
   (
  
   ),
  
   ;
• Pour tout x de l’intervalle
  
  , (
  
   ), on a :
  
  .

 

On en déduit :

 

 et  

 

La fonction f n’est donc pas continue pour toute valeur de x de la forme  (elle est cependant continue à droite en ce point).

 

 

 

 

 

 

 

 

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de la fonction f.