La première question ne pose pas de difficulté particulière et est un grand classique (cas particulier d’un théorème du point fixe). La seconde est plus délicate. Nous en proposons une démonstration par l’absurde faisant appel à la construction d’une suite … (itérer est une approche classique dans ce genre de situation …).

 

 

 

 

1.      Introduisons la fonction  définie par :

 

 

On a immédiatement : .

Si , c'est-à-dire , alors le réel a cherché vaut 0.

On suppose désormais que l’on a : , c'est-à-dire .

 

On a également : . La fonction f prenant ses valeurs dans l’intervalle , on en déduit : .

Si , alors le réel a cherché vaut 1.

On suppose désormais que l’on a : , c'est-à-dire .

 

La fonction  est continue sur l’intervalle  comme différence de deux fonctions continues sur cet intervalle.

Par ailleurs, on a : .

Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de conclure qu’il existe un réel a dans l’intervalle  tel que , c'est-à-dire .

 

En définitive, dans tous les cas :

 

 

 

 

2.      Raisonnons par l’absurde en supposant que pour tout réel x de l’intervalle , on a : . La fonction  étant continue (comme différence de deux fonctions continues), elle garde donc un signe constant. On peut par exemple supposer que l’on a : .

 

La fonction f satisfaisant les conditions de la question précédente, on en déduit qu’il existe un réel α tel que .

D’après  il vient alors : .

 

L’égalité  entraîne également : , soit, en tenant compte de  :  (  est donc également un invariant de la fonction f).

D’après , on a, en prenant  : , soit : .

 

On peut alors poser, pour tout entier naturel n :  (avec la convention  ).

 

D’après ce qui précède, on a : .

 

Nous allons en fait démontrer que la suite  est strictement décroissante.

 

Dans un premier temps, montrons par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n on a : .

 

D’après l’énoncé, cette égalité est vraie pour .

 

Supposons alors qu’elle le soit pour un entier naturel non nul n quelconque fixé.

On a donc : .

Il vient alors : .

La propriété est ainsi vérifiée au rang . Elle est héréditaire.

 

La propriété est ainsi vraie pour tout entier naturel n non nul.

 

 

Soit n un entier naturel n non nul.

L’égalité  entraîne : .

On a alors :

 

 

C'est-à-dire : .

L’inégalité  entraîne alors : , c'est-à-dire .

 

Comme, par ailleurs, on avait : , on en déduit finalement que pour tout entier naturel n, on a : . La suite  est strictement décroissante.

 

Tous les éléments de cette suite appartenant à l’intervalle , elle est minorée par 0.

 

Strictement décroissante et minorée, la suite  converge.

Notons L sa limite. C’est un réel de l’intervalle .

 

Comme on a  et que la fonction f est continue sur l’intervalle , on obtient, en faisant tendre n vers  : .

 

Par ailleurs, on a, par construction de la suite  : .

Comme la fonction g est continue sur l’intervalle , on obtient, en faisant tendre n vers  : .

 

Finalement, on a : .

 

Cette conclusion contredit l’hypothèse initiale.

 

On en déduit finalement qu’il existe un réel a dans l’intervalle  tel que : .