On considère la fonction f définie sur
l’intervalle par :
1. La fonction f est-elle continue sur I (on justifiera soigneusement la réponse) ?
2. Déterminer les variations de f sur I ;
3. Démontrer que la fonction f
s’annule en un unique réel sur l’intervalle
;
4. Donner un encadrement d’amplitude de
.
Analyse
Un peu de tout ! Evidemment, l’exercice peut s’avérer
soudainement ardu si on ne reconnaît pas en le cosinus de
…
Résolution
1. La fonction f est la différence de deux fonctions : et
.
La première est continue sur
en tant que fonction polynôme (il s’agit, plus
précisément d’une fonction linéaire) et la seconde, également sur
,
comme … fonction trigonométrique de référence. La différence est donc continue
sur
et, à fortiori, sur tout intervalle de
,
en particulier sur I.
La
fonction f est continue sur .
2. La fonction f est dérivable sur I comme différence de
deux fonctions dérivables sur et donc, à fortiori, sur tout intervalle de
.
Il vient alors :
Sur l’intervalle I,
l’équation admet une seule solution. La fonction f
s’annule donc uniquement pour
.
En tenant compte du fait que la fonction cosinus est strictement décroissante sur I, on a facilement :
·
Pour tout x de ,
on a :
,
soit :
;
·
Pour tout x de ,
on a :
,
soit :
La fonction f est donc :
- Strictement
décroissante sur l’intervalle ;
- Strictement
croissante sur l’intervalle .
On a par ailleurs :
Comme ,
on a facilement
… la calculatrice est donc inutile !
On a également car leurs carrés sont rangés dans cet
ordre :
et
.
Par ailleurs
.
On a donc :
et on en tire :
… Ici encore, pas besoin de
calculatrice !
Les éléments précédents nous permettent de construire le tableau de variation de f (en toute rigueur non demandé dans cette question) :
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
+ |
|
|
f |
0 |
|
|
|
|
3. La fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle .
On a :
et donc :
.
La fonction f ne s’annule donc pas sur l’intervalle
.
Sur l’intervalle ,
la fonction f est continue et strictement croissante.
On a : et
.
On en déduit, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, qu’il existe un
réel unique
dans
tel que
.
Finalement :
Il
existe un réel unique dans
tel que
.
4. On tabule la fonction f avec divers pas :
·
Avec un pas égal à 1 : ;
·
Avec un pas égal à :
;
·
Avec un pas égal à :
;
·
Avec un pas égal à :
;
·
Avec un pas égal à :
.