Montrer que la fonction f admet un point fixe, c’est montrer que la fonction continue  s’annule … L’essentiel de l’information se situant au niveau du point a, on peut « naturellement » s’intéresser à quelques valeurs prises par cette fonction pour des choix judicieux de x.

 

 

 

 

1.      On considère donc :  et on a alors :

 

 

 

Et, en tenant compte de l’hypothèse  :

 

 

 

 et  sont donc opposés.

On doit alors distinguer deux situations :

 

·         

On a donc  et a est un point fixe de f.

 

·         

Etant opposés, ces deux nombres sont de signes contraires. La fonction g étant continue, on en déduit, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, qu’elle s’annule pour un réel b compris entre a et , c'est-à-dire sur l’intervalle .

 

 

 

2.      Nous procédons comme précédemment mais introduisons d’abord la notation :

 

 avec  

 

On a alors, pour tout entier naturel k dans  :

 

 

 

Soit :

 

 

 

En sommant membre à membre, on obtient alors :

 

 

 

Cette somme étant nulle, nous distinguons deux situations :

 

·        Soit  (ce qui équivaut à ce que tous les termes de la somme soient nuls) et le réel a est un point fixe de f ;

·        Soit  : les termes de la somme ne sont pas tous nuls et il en existe au moins deux de signes contraires (sans quoi la somme serait strictement positive ou strictement négative …). Notons qu’on a également : . En effet, dans le cas contraire, on aurait  et donc . La fonction g étant continue, on déduit de ce qui précède, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, qu’elle s’annule pour un réel b appartenant à l’intervalle .