Deux résultats classiques (que l’on pourrait aisément généraliser en un seul en considérant la fonction , k et  étant deux réels) qui permettent de se familiariser avec la manipulation des «  » et comprendre l’objectif principal associé à la définition de la continuité : on se donne un réel strictement positif (généralement noté  ) et on en cherche un autre (généralement noté  ) tel que …

 

 

 

 

Nous supposons donc que les fonctions f et g sont continues en a. On a donc  et .

 

La première démonstration fait appel à « l’inégalité triangulaire » classique :

Pour tous réels x et y :  

 

Soit  un réel fixé strictement positif. Considérons .

La continuité des fonctions f et g en a nous permet d’affirmer que :

 

·        Il existe un réel  tel que .

·        Il existe un réel  tel que .

 

Posons alors . Pour tout réel x tel que , on a :

 

 

Ainsi, la fonction  est continue en a et on a :

 

 

 

Pour démontrer que la fonction  est continue en a, on peut procéder comme précédemment en utilisant :

Pour tous réels x et y :  

 

La majoration s’écrira cette fois :

 

 

Mais on peut aussi, de façon équivalente, établir le résultat intermédiaire :

Si la fonction f est continue en a alors la fonction  est continue en a

 

Ce résultat est simple.

Soit  un réel fixé strictement positif.

La continuité de la fonction f en a nous permet d’affirmer qu’il existe un réel  tel que .

Or, on a : .

On a donc : .

La fonction  est donc bien continue en a.

 

(plus généralement, si la fonction f est continue en a, alors pour tout réel k, la fonction kf est également continue en a et on a :  )

 

La somme  est alors, d’après le premier résultat, continue en a.