Lorsque x tend vers 0 à droite (respectivement à gauche), son inverse tend vers  (respectivement  ). La fonction  n’admet donc pas de limite en 0. Pour autant, nous devons exploiter le fait que la fonction sinus est bornée …

 

 

 

Pour tout x réel non nul, on a :

 

 

Pour tout réel x strictement positif, on a alors : .

Comme : , le théorème des gendarmes nous permet de conclure :

 

 

De façon similaire, pour tout réel x strictement négatif, on a : .

Comme précédemment, du fait de , le théorème des gendarmes nous permet de conclure :

 

 

Les égalités  et  nous donnent en définitive :

 

 

On peut donc prolonger la fonction f par continuité en 0 en posant :