On considère la fonction f définie par :
1. Etudier les variations de f ;
2. A partir des résultats précédents, déterminer le nombre de solutions de l’équation et en donner un encadrement d’amplitude .
L’étude des variations de f permet de déterminer les intervalles où la fonction s’annule. Quelques tabulations permettent d’obtenir les encadrements demandés.
La fonction f est définie et dérivable sur en tant que fonction polynôme et on a immédiatement :
On en déduit (signe d’un trinôme du second degré dont le coefficient de est strictement positif) :
D’où :
On a :
Et
à Sur l’intervalle .
La fonction f est continue sur cet intervalle en tant que fonction polynôme et strictement croissante.
On a : et .
Comme , on en déduit, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, qu’il existe une unique valeur dans l’intervalle solution de l’équation .
à Sur l’intervalle .
La fonction f est continue sur cet intervalle en tant que fonction polynôme et strictement décroissante.
On a : et .
Comme , on en déduit, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, qu’il existe une unique valeur dans l’intervalle solution de l’équation .
à Sur l’intervalle .
La fonction f est continue sur cet intervalle en tant que fonction polynôme et strictement croissante.
On a : et .
Comme , on en déduit, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, qu’il existe une unique valeur dans l’intervalle solution de l’équation .
Finalement :
L’équation admet un total de trois solutions.
à Encadrement de
En tabulant la fonction f à partir de 0 avec un pas de , on obtient : .
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient : .
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient finalement :
à Encadrement de
En tabulant fonction f à partir de 0 avec un pas de 1, on obtient : .
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient : .
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient finalement :
à Encadrement de
On a .
En tabulant fonction f à partir de 3 avec un pas de 1, on obtient : .
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient : .
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient finalement :
Conclusion :
Les encadrements d’amplitude des trois solutions , et de l’équation sont :