On considère la fonction f définie par :
1. Etudier les variations de f ;
2. A partir des résultats précédents, déterminer le nombre de solutions de l’équation et en donner un encadrement d’amplitude .
L’étude des variations de f et le théorème des valeurs intermédiaires permettent de déterminer le nombre de solutions de l’équation . Quelques tabulations effectuées à la calculatrice permettent d’obtenir les encadrements demandés.
La fonction f est définie et dérivable sur en tant que fonction polynôme et on a immédiatement :
On en déduit pour ou . Par ailleurs, on a immédiatement : pour tout x réel, .
La dérivée de f ne s’annulant qu’en deux points, on en déduit :
La fonction f est strictement croissante sur
On a facilement :
Et, de façon analogue :
On a donc :
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit :
L’équation admet une solution unique sur .
On a facilement : .
On en déduit que pour tout x strictement positif, on a, la fonction f étant strictement croissante sur : .
La solution de l’équation est donc strictement négative.
Notons cette solution.
En tabulant la fonction f avec la calculatrice à partir de 0 avec un pas négatif égal à , on obtient :
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient :
.
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient finalement :
L’encadrement d’amplitude de la solution de l’équation est :
A titre de complément, nous fournissons ci-après la courbe représentative de la fonction f obtenue à l’aide du logiciel GEOPLAN pour la variable x comprise (approximativement) entre et 2.
Figure 1. Courbe représentative de la fonction
pour x compris approximativement entre et 2.