On considère la fonction f définie par :
1. Etudier les variations de f ;
2. A partir des résultats précédents, déterminer le nombre de solutions de l’équation et en donner un encadrement d’amplitude .
L’étude des variations de f et le théorème des valeurs intermédiaires permettent de déterminer le nombre de solutions de l’équation . Quelques tabulations effectuées à la calculatrice permettent d’obtenir les encadrements demandés.
La fonction f est définie et dérivable sur en tant que somme de fonctions elles-mêmes dérivables sur cet intervalle. On a alors, pour tout réel x strictement positif :
On en déduit pour . Par ailleurs, pour tout réel x strictement positif, on a : . Le signe de la dérivée de la fonction f est donc celui de . On a donc :
Conclusion :
On a aisément : qui est strictement positif.
Par ailleurs :
On a : . Donc : et . On en déduit : .
La fonction f est continue sur comme somme de fonctions continues sur cet intervalle.
D’après la question précédente, elle y est strictement décroissante.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu’il existe un unique réel dans solution de l’équation .
Pour tout réel x strictement positif, on a :
On a alors :
On en tire alors : .
La fonction f est continue sur et elle y est strictement croissante (cf. la question 1).
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu’il existe un unique réel dans solution de l’équation .
Conclusion :
L’équation admet deux solutions sur : l’une, notée , dans l’intervalle et l’autre, notée , dans l’intervalle .
à Encadrement de
En tabulant la fonction f avec la calculatrice à partir de 0 avec un pas égal à 1, on obtient :
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient :
.
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient finalement :
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient finalement :
à Encadrement de
En tabulant la fonction f avec la calculatrice à partir de 1 avec un pas égal à 1, on obtient :
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient :
.
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient finalement :
En tabulant f sur l’intervalle avec un pas de on obtient finalement :
Conclusion :
Les encadrements d’amplitude des solutions et de l’équation sont :
A titre de complément, nous fournissons ci-après la courbe représentative de la fonction f obtenue à l’aide du logiciel GEOPLAN pour la variable x comprise (approximativement) entre 0 et .
Figure 1. Courbe représentative de la fonction
pour x compris approximativement entre 0 et .