La présence de la fonction partie entière nous conduit à distinguer l’étude de la continuité sur les intervalles de la forme  (  ) de celle de la continuité aux abscisses entières.

 

 

 

Dans un premier temps, nous nous plaçons sur un intervalle de la forme  (  ).

Pour tout réel x de cet intervalle, on a :  et donc : .

La fonction  est continue sur  comme composée de deux fonctions continues sur  : la fonction linéaire  et la fonction sinus. Elle est à fortiori continue sur  et il en va de même pour la fonction f.

 

Etudions maintenant la continuité de f en un point d’abscisse entière.

Soit donc . On a : .

Pour tout réel x de l’intervalle , on a :  et .

On en déduit :  

Pour tout réel x de l’intervalle , on a :  et .

On en déduit :  

 

On a ainsi établi : .

On en déduit que la fonction f est continue en k.

 

Finalement, on tire de ce qui précède :

 

 

 

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de la fonction f.