L’exercice ne présente pas de difficulté particulière : il s’agit de déterminer le développement limité d’une composée de deux fonctions. Il faut cependant faire attention à  …

 

 

 

 

On a d’abord .

 

Par ailleurs, nous disposons du développement limité à l’origine de . Il convient donc de transformer l’écriture de f pour faire apparaître une expression du type  avec .

 

Il vient : . La fonction g « cherchée » est donc définie par :  puisqu’on a bien : .

 

Le développement limité en 0 à l’ordre 4 de  s’écrit :

 

 

Pour , on a en particulier :

 

Or, le développement limité en 0 à l’ordre 4 du sinus s’écrit : . Donc, le développement limité en 0 de  s’écrit :

 

 

Nous disposons désormais de tous les éléments pour mener le calcul :

 

 

Rappel : pour chaque élévation à une puissance donnée, on ne retient que les termes en  où n est inférieur ou égal à la puissance considérée (ici 4).

 

En multipliant par 2, on obtient finalement :