L’exercice ne présente pas de difficulté particulière : il s’agit de déterminer le développement limité d’une composée de deux fonctions. Il faut cependant faire attention à  …

 

 

 

On a d’abord .

 

Par ailleurs, nous disposons du développement limité à l’origine de  à l’ordre n.

 

On commence par écrire le développement limité en 0 à l’ordre 5 de la fonction cosinus :

 

 (le terme suivant est « en  »).

 

Le développement limité en 0 à l’ordre n de  s’écrit :

 

 

Comme nous allons l’utiliser avec  en lieu et place de x, il nous suffit de le mener à l’ordre 2 puisque les termes  avec  fourniraient des puissances de x supérieures ou égales à . Dans ces conditions, on utilise : .

 

On a alors :