Déterminer les développements limités en 0 à l’ordre 6 des fonctions suivantes :
Il s’agit ici de déterminer les développements limités de composées de fonctions. On note que la fonction définie par n’est pas définie sur un voisinage de 0 puisqu’elle n’est définie qu’en 0 ! D’où son absence …
En guise de préambule, nous devons souligner que :
Le développement limité à l’origine de ne comportera donc pas de terme constant.
Dans un premier temps, déterminons les développements limités des fonctions et . Pour ne mener qu’un calcul (soyons économes !) nous introduisons la fonction définie par : avec .
On a alors simplement : et .
A partir du développement limité en 0 à l’ordre 3 de , nous allons d’abord déterminer celui de . L’ordre 3 est suffisant ici puisque la « véritable » variable est .
On a : .
Il vient alors, en tenant compte de :
D’où :
En utilisant à nouveau le développement limité en 0 à l’ordre 3 de avec , il vient :
Pour et , on obtient finalement :
Déterminons maintenant le développement limité en 0 à l’ordre 6 de .
Si nous procédons comme précédemment, nous écrivons :
D’où :
En considérant alors la racine carrée de cette expression, nous allons être confrontés à une « difficulté » :
En effet, nous voyons apparaître le facteur … Les signes des coefficients du développement limité changeraient donc selon le signe de x ? Ceci est en contradiction flagrante avec l’unicité du développement limité en un point !
En fait, nous allons obtenir effectivement non pas un mais deux développements limités : l’un à gauche de 0 et l’autre à droite. Tout simplement parce que n’est pas dérivable en 0 (ce que nous allons voir immédiatement). En revanche, puisqu’elle l’est à gauche et à droite, nous pouvons déterminer les développements limités correspondants.
Pour , on a :
Pour , on a et .
D’où : .
Et pour , on a et .
D’où : .
n’est donc pas dérivable en 0 MAIS est dérivable à gauche et à droite de 0.
En reprenant : , il vient :
Note : nous avons fait apparaître des « » puisque le terme suivant le terme en « » est en « ».
Finalement :
A gauche de 0 :
A droite de 0 :
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et A gauche de 0 : A droite de 0 : |
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