On note d’abord que le rapport  est défini et strictement positif sur l’intervalle . Les deux monômes  et  y sont, par ailleurs, strictement positifs. En se plaçant sur le voisinage  de l’origine, on peut manipuler sans risque l’expression de f.

 

Il s’agit ici de déterminer le développement limité d’un rapport de deux fonctions. Plusieurs approches sont envisageables : utiliser  (cette nouvelle écriture est licite d’après ce qui précède) et effectuer le produit de deux développements limités connus ou commencer par déterminer le développement limité du rapport  pour l’élever ensuite à la puissance m. Nous développons les deux approches : à vous de juger …

 

 

 

1^ère approche : effectuer un produit de développements limités

 

On a le développement limité classique, à l’ordre 4 :

 

 

On en tire alors celui de  :

 

 

Attention ! Il faut ici prendre garde de ne pas « oublier » un signe négatif …

 

En effectuant le produit de ces développements limités, il vient :

 

 

Finalement :

 

 

 

2^ème approche : élever le rapport à la puissance m

 

Le développement limité en 0 à l’ordre 4 du rapport  est donné par la division de  par  suivant les puissances croissantes à l’ordre 4. On a facilement :

 

 

D’où :

 

 

Il vient alors :

 

 

Le premier terme non constant de l’argument de la puissance étant , on doit retenir toutes les puissances de  jusqu’à la quatrième :

 

 

On a retrouvé le résultat obtenu précédemment.