Il s’agit essentiellement ici de déterminer le développement limité d’un produit de deux fonctions. Deux approches sont proposées : la première est directe et consiste à se ramener à l’origine. La seconde consiste à travailler sur la dérivée de la fonction puis à intégrer son développement limité en 1.

 

 

 

En guise de préambule, on a : .

 

1^ère approche : calcul direct

 

On se ramène au calcul d’un développement limité à l’origine en posant : . On a alors : .

 

On doit donc partir du développement limité de  en 0 à l’ordre 6 :

 

qui donne :

 

On en tire alors :

 

 

 

Soit, finalement :

 

 

 

2^ème approche : utiliser la dérivée

 

Sans avoir nécessairement reconnu une primitive classique, la forme simple de f peut conduire à en calculer la dérivée.

 

On a : .

 

On a alors, en posant à nouveau : , .

 

Or on a : .

 

Pour obtenir , il suffit donc d’intégrer ce développement limité sans oublier la constante d’intégration qui n’est rien d’autre que . Il vient directement :

 

 

On a retrouvé le résultat obtenu précédemment.