On va ici utiliser le fait que l’on peut travailler plus simplement sur la dérivée de la fonction.

 

 

 

On a : .

 

On va donc pouvoir utiliser le développement limité « standard » :

 

 

avec .

 

A quel ordre doit-on effectuer ce développement limité ?

 

Puisque nous allons déterminer le développement limité de la composée des deux fonctions  et , le développement limité obtenu ne comportera que des puissances paires de x. En l’intégrant, et en tenant compte du fait que , le développement limité finalement obtenu ne comportera que des puissances impaires de x. Pour obtenir un développement limité à l’ordre , celui de la dérivée doit être mené à l’ordre . On doit partir du développement limité de  à l’ordre n.

 

On a donc pour  :

 

 

En remplaçant x par  (composition des fonctions), il vient :

 

 

On peut simplifier cette écriture en notant que :

 

 

On a alors :

 

 

En intégrant et en tenant compte de , il vient finalement :