La présence de la fonction arcsin requiert de dériver la fonction f et de donner un développement limité de la dérivée à l’ordre 3. Classiquement, on doit, en intégrant, ne pas oublier la valeur de la fonction au point …

 

 

 

On a immédiatement : .

 

On peut déterminer l’ensemble de définition  de la fonction f.

On trouve : .

 

On va alors se placer sur un intervalle I centré en 0 et tel que le numérateur et le dénominateur du rapport  soient strictement positifs. On peut, par exemple, choisir .

 

Soit alors la fonction u définie sur I par : .

 

La fonction u est dérivable sur I et on a : .

 

On peut alors dériver la fonction f comme composée de u et de arcsin :

 

 

Puisque l’on travaille sur I, on a :  et on peut écrire :

 

 

Puisque nous devrons intégrer le développement limité de la dérivée pour obtenir un développement limité de f à l’ordre 4, nous allons développer  à l’ordre 3.

On va donc commencer par développer  et  en 0 à l’ordre 3 :

 

 

 

On effectue alors le produit des deux développements limités obtenus ci-dessus :

 

 

En intégrant et en tenant compte de , on obtient finalement :