Lorsque l’on s’intéresse à la limite de la fonction f en 0 (premier terme du développement limité) on a affaire à une forme indéterminée que l’on commence par lever.

La « technique » utilisée pour lever l’indétermination permet également d’obtenir le développement limité recherché …

 

 

 

Pour tout x réel, on a : .

Pour x différent de  (  ), on peut donc poser .

 

En 0, on a : .

On en déduit alors, toujours en 0 : .

D’où : .

Soit :  et, finalement : .

 

 

Le calcul précédent suggère de travailler d’abord avec la fonction g.

Puisqu’il faudra en considérer l’exponentielle, nous allons déterminer le développement limité de g en 0 à l’ordre 4.

La fonction g étant le produit de la fonction inverse et de la fonction , on doit développer cette dernière à l’ordre 5.

 

On commence donc par développer la fonction sinus à l’ordre 5 en 0. On a classiquement :

 

On utilise alors :  et on obtient, en composant les développements limités :

 

 

D’où :

 

 

 

On doit alors composer ce résultat avec le développement limité de l’exponentielle en 1 :

 

En posant , on a facilement :

 

On peut écrire :

 avec : .

 

Il vient donc :