On écrit f sous forme exponentielle et on peut commencer par déterminer la limite de f en 0. On doit ensuite déterminer le développement limité d’une composée.

 

 

 

 

Remarquons d’abord que l’on a, pour tout x réel : . Ainsi, la fonction f est définie sur  et on a , pour tout x réel :

 

 

 

Or, on a :  et donc : , soit : .

On en déduit alors, par composition :  qui correspond au premier terme du développement limité cherché.

 

Du fait de la division par x dans l’expression , on va commencer par donner le développement limité à l’origine de la fonction  à l’ordre 3.

Comme  au voisinage de 0, on a :

 

 

 

On a alors immédiatement :

 

 

 

Puis :

 

 

 

Comme  au voisinage de 0, on a, en utilisant le développement limité de l’exponentielle à l’origine à l’ordre 2 :

 

 

 

Finalement, en multipliant par  :